3-dars. Sanoq tizimlari

Darsning maqsadlari:

• Sanoq Tizimlari Tarixi
  • Sanoq tizimlarining paydo bo'lishi va tarixiy taraqqiyotini tushunish.
  • Eng mashhur sanoq tizimlari – ikkilik, o‘nlik va boshqa tizimlarni batafsil o‘rganish.
  • Sanoq tizimlarining hayotimizdagi o‘rni va dasturlashdagi ahamiyatini tushunish.
• 2-lik Sanoq Sistemi (Binary)
  • 2-lik (ikkilik) sanoq sistemasi nima ekanligini tushunish.
  • Ikkilik tizimning qanday ishlashini batafsil tushunish.
  • Ikkilik sanoq tizimi hayotimiz va texnologiyadagi o'rni haqida gaplashish.
  • Ikkilik sanoq sistemasida qo'shish, ayirish va ko'paytirish amallarini o'rganish.
• 8-lik Sanoq Tizimi (Octal)
  • 8-lik sanoq tizimini tushunish.
  • Oktal sanoq tizimining pozitsiyaviy qiymatlari va ular qanday ishlashini o'rgatish.
  • Oktal sanoq tizimini o'nlik va ikkilik sanoq tizimlariga o‘tkazishni o‘rgatish.
  • Sakkizlik sanoq sistemasida qo'shish, ayirish va ko'paytirish amallarini o'rganish.
• 10-lik Sanoq Sistemi (Decimal)
  • O‘nlik sanoq sistemasi nima ekanligini tushunish.
  • Raqamlarning pozitsiyaviy qiymatlari qanday ishlashini tushunish.
  • O‘nlik sanoq tizimini boshqa sanoq tizimlariga (ikkilik va boshqalar) nisbatan o’rganish.
  • O’nlik sanoq sistemasida qo’shish, ayirish va ko’paytirish amallarini o’rganish.
• 16-lik Sanoq Sistemi (Hexadecimal)
  • 16-lik sanoq tizimini tushunish.
  • Raqamlarning qiymatlari va pozitsiyaviy asoslarini o‘rgatish.
  • 16-lik sanoq tizimining boshqa sanoq tizimlari bilan taqqoslash.
  • O’n oltilik sanoq sistemasida qo’shish, ayirish va ko’paytirish amallarini o’rganish.

Sanoq Tizimlari Tarixi

Kirish: Sanoq Tizimlari nima?

Sanoq tizimlari – bu raqamlar orqali miqdor yoki ma'lumotni ifodalash tizimi. Bilasizmi, har kuni ishlatadigan raqamlar ham tarixiy jarayonning mevasi! O‘nlik tizimdan tortib, bugungi dasturlashda qo‘llanadigan ikkilik tizimgacha barchasi o‘z o‘rniga ega.

💡

Dasturchilar raqamlar bilan ishlashni yaxshi ko'rishadi. Raqamlar – ularning alifbosi!

Eng qadimgi sanoq tizimlari

Sanoq tizimlari qadim zamonlarda rivojlangan. Odamlar dastlab barmoq yordamida sanashgan. Ilk hisoblash vositasi esa tosh yoki yog‘ochdan qilingan bo‘lib, bu bilan oddiy sanashni amalga oshirishgan.

Misol: Tasavvur qiling, qadimgi insonlar barmoqlarida sanashgan, ya'ni o‘nlik sanoq tizimi (decimal) inson barmoqlaridan kelib chiqqan!

Eng mashhur sanoq tizimlari

• O‘nlik sanoq tizimi (Decimal System) – Hammamiz biladigan va kundalik hayotda ishlatiladigan tizim. Bu tizimda 0 dan 9 gacha raqamlar qo‘llaniladi va har bir raqamning pozitsiyasi uning qiymatini belgilaydi.
  • Hayotiy Misol: Barmoqlaringizni sanash: ikkita qo'lda 10 ta barmoq – bu sizning o'nlik tizimni kundalik hayotda ishlatishingizning eng oddiy misoli.
• Ikkilik sanoq tizimi (Binary System) – Bu tizim faqat ikkita raqamdan iborat: 0 va 1. Bu tizim bugungi zamonaviy kompyuterlar va texnologiyalarda asosiy hisoblanadi. Kompyuterlar ham aynan shu tizimda ishlaydi.

  • Hayotiy Misol: Kompyuteringiz yoki telefoningiz haqiqiy "ikki xil" bo'lib ishlaydi: 0 va 1. Ular o'chirildi yoki yoqildi.

    😉

    Kompyuterlar ikkilik tizimda ishlaydi, shuning uchun ular hamma narsani 0 yoki 1 deb tushunadi. Odam esa yo ha, yo yo'q, yoki balki deb aytadi!

• O'n oltilik sanoq tizimi (Hexadecimal System) – Bu tizimda raqamlar 0 dan 9 gacha va A, B, C, D, E, F harflari ishlatiladi. Bu tizim kompyuter tizimlarida juda keng tarqalgan.
  • Hayotiy Misol: Kompyuter ranglarni ifodalayotganda, ularni o'n oltilik tizimda ifodalaydi. Masalan, #FFFFFF – bu oq rangni anglatadi.

Sanoq Tizimlarining Afzalliklari va Kamchiliklari

O‘nlik tizimi:

• Afzalliklari: Kundalik hayotda juda qulay, tabiiy sanash tizimi. Insonlar barmoqlarida sanashga moslashgan.
• Kamchiliklari: Kompyuterlar uchun unchalik samarali emas, chunki ular o‘nlik tizimda emas, ikkilikda ishlaydi.

Ikkilik tizimi:

• Afzalliklari: Kompyuterlar uchun mukammal, raqamlar kamroq, oddiy va tez ishlatiladi.
• Kamchiliklari: Odamlar uchun oddiy sanash tizimi emas, ko‘p raqamlar bilan ishlash kerak bo‘ladi.

💡

Kompyuter barcha operatsiyalarni ikkilik tizimda bajaradi. Bu tizim u uchun juda qulay, biz uchun esa murakkabroq ko‘rinishi mumkin!

O‘n oltilik tizimi:

• Afzalliklari: Kompyuter dasturlashida katta raqamlarni qisqartirilgan shaklda ifodalash uchun qulay.
• Kamchiliklari: Yangi boshlovchilar uchun murakkab ko‘rinadi, ammo amalda juda foydali.

10-lik Sanoq Sistemi (Decimal)

O‘nlik Sanoq Sistemi Nima?

O‘nlik sanoq sistemasi (decimal system) – bu biz kundalik hayotda ishlatadigan sanoq tizimi. U 10 ta raqamdan iborat: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Bu tizim odamlar orasida eng keng tarqalgan hisoblanadi, chunki bizning barmoq sonimiz 10! Shu sababli, tarix davomida o‘nlik tizimi insoniyat uchun juda qulay bo‘lgan.

💡

O‘nlik sanoq tizimi matematikaga asoslangan bo‘lib, barcha hisob-kitoblar va raqamli o‘lchovlar uchun ishlatiladi. Foydalanish qulayligi tufayli bu tizim eng mashhur hisoblanadi.

Qanday Ishlaydi?

O‘nlik sanoq tizimida har bir raqamning qiymati uning joylashgan o‘rniga bog‘liq. Buni "pozitsiyaviy tizim" deb ataymiz. Misol uchun, raqamlar chapdan o‘ngga qarab o‘sib boruvchi darajalar shaklida o‘qiladi:

• 1 birlik,
• 1 o‘nlik,
• 1 yuzlik va hokazo.

Masalan, 324 raqami aslida shunday ifodalanadi:

• 3 yuzlik: 3 * 100 = 300
• 2 o‘nlik: 2 * 10 = 20
• 4 birlik: 4 * 1 = 4

Demak, 324 = 300 + 20 + 4.

Nima Uchun Aynan 10-lik?

Savol tug‘ilishi mumkin: nega aynan 10-lik? Nega 12 yoki 8 emas? Buning sababi juda oddiy: insonlarning ikkita qo‘li va o‘n barmog‘i bor. Qadim zamonlarda odamlar hisoblashni barmoqda bajargan. Shunday qilib, 10-lik sanoq tizimi tabiatimizga mos ravishda rivojlangan.

---

O‘nlik Sanoq Tizimining Hayotiy Misollari

Keling, o‘nlik sanoq tizimining hayotdagi misollarini ko‘rib chiqamiz. O‘ylab ko‘ring, biz kundalik hayotda har kuni o‘nlik sanoq tizimini ishlatamiz:

• Pul hisoblashda (masalan, sizda 10,000 so‘m bor bo‘lsa, bu 1 * 10,000 demak).
• Vaqt hisoblashda (60 daqiqa, 24 soat).
• O‘lchovlarda (masalan, kilogrammlar, metrik tizim ham o‘nlikka asoslangan).

💡

Metrik tizim ham o‘nlik sanoq tizimiga asoslangan bo‘lib, butun dunyo bo‘ylab keng tarqalgan. Har qanday masofa (masalan, metrlar) yoki vazn (kilogrammlar) bu tizimda o‘nlik tizim orqali hisoblanadi.

---

O‘nlik Sanoq Tizimini Ikkilik Tizimga Taqqoslash

Agar siz 10-lik sanoq tizimini yaxshi tushunsangiz, boshqa sanoq tizimlari, masalan, ikkilik (2-lik) sanoq tizimini tushunish osonroq bo‘ladi. O‘nlik tizimda har bir raqam 10 ga ko‘paytirilsa, ikkilikda har bir raqam 2 ga asoslanadi.

Masalan, 13 raqamini ikkilik tizimda yozish uchun biz uni 2 ga bo‘lishimiz kerak:

• 13 (o‘nlik) = 1101 (ikkilik).

---

O‘nlik Sanoq Tizimidan Ikkilik Tizimga O‘tish

Endi qiziqarli qismga o‘tamiz – o‘nlik sanoq tizimidan ikkilikka o‘tish. Keling, 10-lik tizimdagi raqamlarni qanday qilib ikkilik tizimga o‘tkazishni ko‘rib chiqamiz.

Masalan, 23 raqamini ikkilik tizimga o‘tkazish uchun quyidagicha bo‘lamiz:

• 23 ni 2 ga bo‘lamiz: 23 ÷ 2 = 11, qolgan 1.
• 11 ni 2 ga bo‘lamiz: 11 ÷ 2 = 5, qolgan 1.
• 5 ni 2 ga bo‘lamiz: 5 ÷ 2 = 2, qolgan 1.
• 2 ni 2 ga bo‘lamiz: 2 ÷ 2 = 1, qolgan 0.
• 1 ni 2 ga bo‘lamiz: 1 ÷ 2 = 0, qolgan 1.

Shunday qilib, 23 (o‘nlik) = 10111 (ikkilik).

---

O‘nlik Sanoq Tizimining Ahmiyati

• Oddiy va qulay: Odamlar uchun eng qulay sanoq tizimi.
• Texnologiyalarda keng qo‘llaniladi: Dasturlash va texnologiya uchun o‘nlik tizimining asosiy hisob-kitoblarini oson bajarish imkonini beradi.
• Global o‘lchovlar: O‘nlik sanoq tizimi butun dunyoda keng qo‘llaniladi – pul, vaqt, masofa va boshqa ko‘plab hisoblashlarda.

---

O’nlik Sanoq Sistemasida Qo’shish, Ayirish va Ko’paytirish

---

Qo’shish Amali

O’nlik sanoq sistemasida qo’shish jarayoni oson, lekin unda ba'zi qoidalar mavjud. Qo'shishda har doim o'ngdan chapga qarab boshlaymiz.

Qo’shish qoidalari:

• 0 + 0 = 0
• 1 + 0 = 1
• 5 + 3 = 8
• 7 + 5 = 12 (bu erda 1 ni olib o'tamiz)

Misol 1:

27 + 36 qo'shamiz:

   27
 + 36
 ------
  63   (2 + 3 = 5, 7 + 6 = 13, olib o'tamiz, 1)

Misol 2:

58 + 47 qo'shamiz:

   58
 + 47
 ------
  105   (5 + 4 = 9, 8 + 7 = 15, olib o'tamiz, 1)

---

Ayirish Amali

Ayirish jarayoni qo'shish jarayoniga o'xshaydi, lekin bu erda biz katta raqamdan kichik raqamni ayiramiz.

Ayirish qoidalari:

• 0 - 0 = 0
• 5 - 3 = 2
• 9 - 5 = 4
• 3 - 7 = -4 (bu mumkin emas)

Misol 1:

72 - 35 ayiramiz:

   72
 - 35
 ------
   37   (7 - 3 = 4, 2 - 5 = 7, olib o'tamiz)

Misol 2:

85 - 47 ayiramiz:

   85
 - 47
 ------
   38   (8 - 4 = 4, 5 - 7 = -2, olib o'tamiz)

---

Ko’paytirish Amali

O’nlik sanoq sistemasida ko’paytirish jarayoni ham oson. Har bir raqamni o’z joyi bilan ko’paytiramiz.

Ko’paytirish qoidalari:

• 0 * 0 = 0
• 1 * 1 = 1
• 2 * 3 = 6
• 4 * 5 = 20

Misol 1:

12 * 3 ni ko’paytiramiz:

    12
  x  3
  ------
    36   (1*3=3, 2*3=6)

Misol 2:

25 * 4 ni ko’paytiramiz:

    25
  x  4
  ------
   100   (2*4=8, 5*4=20)

---

2-lik Sanoq Sistemi (Binary)

Ikkilik Sanoq Sistemi nima?

Ikkilik sanoq sistemasi faqat 0 va 1 raqamlaridan iborat. Ya'ni, barcha raqamlar shu ikkita raqam yordamida ifodalanadi. Dasturchilar va kompyuterlar uchun bu tizim haqiqiy "tilda gaplashish" usuli. Kompyuterlar elektr signallari yordamida ishlaydi, shu sababli ular uchun "o‘chirilgan" (0) va "yoqilgan" (1) holatlarni tushunish juda oddiy.

Nima uchun ikkilik tizim kerak?

Oddiy hayotda biz o‘nlik tizimdan foydalanamiz (0 dan 9 gacha bo‘lgan raqamlar). Ammo kompyuterlar o‘nlik tizimda ishlamaydi, ular uchun ikkilik tizim ko‘proq mos keladi. Shuning uchun barcha ma'lumotlarni kompyuterlar ikkilik raqamlarga aylantirib ishlaydi. Masalan, har bir harf, har bir raqam, hatto bu ma'ruza ham kompyuteringiz uchun faqat 0 va 1 raqamlari to‘plami!

Ikkilik tizimda qanday sanash kerak?

Ikkilik tizimda raqamlar quyidagicha sanaladi: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111... Diqqat qiling, bu o‘nlik tizimda biz bilgan 0 dan 7 gacha raqamlarga mos keladi.

• 0 – ikkilikda ham 0.
• 1 – ikkilikda ham 1.
• 2 – ikkilikda 10 bo‘ladi.
• 3 – ikkilikda 11.
• 4 – ikkilikda 100 bo‘ladi va hokazo.

Qanday qilib ikkilikdan o‘nlikka o‘tish mumkin?

Ikkilik raqamlarni o‘nlikka aylantirishning oddiy usuli bor. Har bir raqamning pozitsiyasi 2 ning darajasi sifatida ko‘riladi.

Masalan: Ikkilik raqam: 101

Bu yerda:

• O'ngdan birinchi raqam 1, u 2^0 (ya'ni 1) ga teng.
• O'rtadagi raqam 0, u 2^1 (ya'ni 2) ga teng, lekin 0 bo'lgani uchun hisobga olinmaydi.
• Chapdagi raqam 1, u 2^2 (ya'ni 4) ga teng.

Shu bilan: 101 (ikkilik) = 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 5 (o‘nlik).

Ikkilik Sanoq Tizimining Asosiy Afzalliklari

1. Oddiylik: Kompyuterlar elektr oqimini yoqish va o‘chirish orqali ish yuritadi, shu sababli ikkilik tizim ular uchun eng sodda va tez ishlovchi tizim.
2. Tezlik va samaradorlik: Kompyuterlar ikkilik tizimda juda tez va samarali ishlaydi.
3. Keng qo‘llanilishi: Barcha zamonaviy texnologiyalar – telefonlar, kompyuterlar, televizorlar va boshqa barcha elektron qurilmalar ikkilik tizim asosida ishlaydi.

Misol: Kompyuterlarning Ikkilikda Ishlashi

Tassavvur qiling, kompyuteringiz "yoqilgan" yoki "o‘chirilgan" holatda. U 1 yoki 0 ni o‘qiydi. Har bir tugma bosilishi yoki yozuv kompyuter uchun faqat ikkita raqam bilan ifodalanadi. Telefoningizdan SMS yozayotganingizda ham har bir harf aslida 0 va 1 to‘plami bo‘lib saqlanadi!

💡

ASCII kabi kodlash tizimlari har bir harfni 0 va 1 ko‘rinishidagi raqamlarga o‘giradi. Masalan, A harfi ikkilikda 1000001 ga teng.

😉

Kompyuteringizga g'azablanmang! Uning uchun dunyo faqat 0 va 1 dan iborat. Sizdan ham shu tillarda so‘zlashishingizni kutadi!

Ikkilik Tizimning Dasturlashdagi Ahamiyati

Ikkilik tizim dasturlashning asosi. Biz yuqori darajali tillarda (masalan, Python yoki Java) kod yozsak ham, u oxir-oqibat ikkilikka aylantiriladi va kompyuter tomonidan bajariladi.

Hayotiy misol: Agar siz telefoningizda ilova ishga tushirsangiz, undagi barcha ko‘rsatmalar 0 va 1 shaklida telefon xotirasiga yoziladi va ishga tushadi. Telefoningiz barcha operatsiyalarni ikkilik kodda bajaradi.

😉

Nega kompyuter har doim javob berishga shoshadi? Chunki u faqat ha yoki yo‘q javobini biladi!

---

Ikkilikdan O'nlikka va Aksincha O'tkazish Usuli

• Ikkilikdan o‘nlikka o‘tish: Har bir raqamning o‘rnini hisobga olib, 2 ning darajalariga ko‘paytiramiz va qo‘shamiz (yuqoridagi misol).
• O‘nlikdan ikkilikka o‘tish: O‘nlik raqamni 2 ga bo‘lib chiqamiz va bo‘linmadan qolganlarni yozib chiqamiz.

Masalan, o‘nlik tizimdagi 13 sonini ikkilikka o‘tkazamiz:

• 13 ni 2 ga bo‘lamiz: 13 ÷ 2 = 6, qolgan 1.
• 6 ni 2 ga bo‘lamiz: 6 ÷ 2 = 3, qolgan 0.
• 3 ni 2 ga bo‘lamiz: 3 ÷ 2 = 1, qolgan 1.
• 1 ni 2 ga bo‘lamiz: 1 ÷ 2 = 0, qolgan 1.

Natija: 1101 – bu ikkilik tizimdagi 13 raqami.

Ikkilik Sanoq Sistemasida Qo'shish, Ayirish va Ko'paytirish

Qo'shish Amali

Ikkilik sanoq sistemasida qo'shish oddiy ko'rinishi mumkin, lekin ba'zi qoidalarni bilish kerak. Qo'shish jarayoni quyidagi qoidalarga asoslanadi:

• Qo'shish qoidalari:
  • 0 + 0 = 0
  • 0 + 1 = 1
  • 1 + 0 = 1
  • 1 + 1 = 10 (bu erda 0 ni natija sifatida olamiz va 1 ni olib o'tamiz)

Misol 1:

1010 + 1100 qo'shamiz:

   1010
 + 1100
 -------
  10110  (o’nlikda 10 + 12 = 22)

Misol 2:

0111 + 0011 qo'shamiz:

   0111
 + 0011
 -------
   1010  (o’nlikda 7 + 3 = 10)

3. Ayirish Amali

Ikkilik sanoq sistemasida ayirish ham oson. Ayirishda har doim katta raqamdan kichik raqamni ayiramiz.

• Ayirish qoidalari:
  • 0 - 0 = 0
  • 1 - 0 = 1
  • 1 - 1 = 0
  • 0 - 1 = 1 (buning uchun 1 olib o'tishimiz kerak)

Misol 1:

1101 - 0110 ayiramiz:

   1101
 - 0110
 -------
   0111  (o’nlikda 13 - 6 = 7)

Misol 2:

1000 - 0101 ayiramiz:

   1000
 - 0101
 -------
   0011  (o’nlikda 8 - 5 = 3)

4. Ko'paytirish Amali

Ikkilik sanoq sistemasida ko'paytirish ham oson. Agar siz qo'shish va ayirish qoidalarini bilsangiz, ko'paytirishni o'rganish ham qulay.

• Ko'paytirish qoidalari:
  • 0 * 0 = 0
  • 0 * 1 = 0
  • 1 * 0 = 0
  • 1 * 1 = 1

Misol 1:

101 * 11 ni ko'paytiramiz:

       101
     x  11
   ---------
       101   (1 * 101)
 +    101    (1 * 101, o'zini o'ngga bir joy o'tkazamiz)
   ---------
      1111   (o’nlikda 5 * 3 = 15)

Misol 2:

110 * 10 ni ko'paytiramiz:

       110
     x  10
   ---------
       000   (0 * 110)
 +    110    (1 * 110, o'zini o'ngga bir joy o'tkazamiz)
   ---------
     1100   (o’nlikda 6 * 2 = 12)

8-lik Sanoq Tizimi (Octal)

---

8-lik Sanoq Tizimi Nima?

Oktal sanoq tizimi deb ham ataladigan 8-lik sanoq tizimi faqat 0 dan 7 gacha bo‘lgan raqamlardan foydalanadi. Ya'ni bu tizimda raqamlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ko‘rinishida bo‘ladi. Bu tizimda 9 yoki undan katta raqamlar yo‘q, chunki u 8 ta raqamdan iborat.

8-lik sanoq tizimi ko‘pincha kompyuter dunyosida ishlatiladi, ayniqsa ikkilik sanoq tizimi bilan o‘zaro aloqada bo‘lganda. Bu tizim kompyuter xotirasida va fayl ruxsatlarida ishlatiladi, ayniqsa Unix va Linux operatsion tizimlarida.

---

Qanday Ishlaydi? (Pozitsiyaviy Qiymatlar)

8-lik sanoq tizimi ham boshqa tizimlar singari pozitsiyaviy qiymatlarga ega. Har bir raqamning qiymati uning o‘rniga bog‘liq. Lekin har bir raqamning qiymati 8 darajalariga asoslanadi.

Masalan, 123 (8-lik) raqamining qiymatini hisoblab ko‘raylik:

• 1 * 8² = 1 * 64 = 64
• 2 * 8¹ = 2 * 8 = 16
• 3 * 8⁰ = 3 * 1 = 3

Shunday qilib, 123 (8-lik) = 64 + 16 + 3 = 83 (10-lik).

Fakt: 8-lik sanoq tizimi binariy (ikkilik) tizimdan oson o‘tkaziladi. Kompyuterlar o‘z ichki tizimida ikkilik sanoq tizimini ishlatadi, lekin 8-lik bilan ko‘proq ishlash qulay, chunki u uzun ikkilik raqamlarni qisqa qilib beradi.

---

Oktal va Kundalik Hayot

Kundalik hayotda, 8-lik sanoq tizimi ko‘proq texnik sohalarda ishlatiladi. Masalan, Unix va Linux tizimlarida fayl ruxsatlari oktal shaklda ko‘rsatiladi.

Hayotiy misol: Linuxda siz fayl ruxsatlarini ko‘rgan bo‘lishingiz mumkin, masalan, 755. Bu 8-lik sanoq tizimida ifodalangan va ruxsat darajalarini ko‘rsatadi. Bu raqam ikkiyoqlama huquqlar tizimini oson tushunish uchun ishlatiladi.

---

Oktalni Ikkilik va 10-likka O‘tkazish

Oktal sanoq tizimini 10-lik yoki ikkilikka o‘tkazish juda oddiy va oson jarayon.

Oktalni Ikkilikka O‘tkazish:

8-lik raqamlarni har biri 3 ta ikkilik raqamga o‘tkazish mumkin. Misol uchun, 7 (8-lik) ning ikkilik ko‘rinishi 111 ga teng.

Misol: 537 (8-lik) raqamining ikkilik ko‘rinishini hisoblaymiz:

• 5 (8-lik) = 101 (ikkilik),
• 3 (8-lik) = 011 (ikkilik),
• 7 (8-lik) = 111 (ikkilik).

Demak, 537 (8-lik) ning ikkilik ko‘rinishi 101 011 111.

---

Oktalni 10-likka O‘tkazish:

Oktalni 10-likka o‘tkazish uchun har bir raqamni 8 ning darajalari bilan ko‘paytiramiz.

Misol: 264 (8-lik) raqamining 10-lik qiymatini hisoblaylik:

• 2 * 8² = 2 * 64 = 128,
• 6 * 8¹ = 6 * 8 = 48,
• 4 * 8⁰ = 4 * 1 = 4.

Shunday qilib, 264 (8-lik) = 128 + 48 + 4 = 180 (10-lik).

---

Oktal Tizimning Qulayliklari

Oktal tizimning eng katta qulayligi – u ikkilik tizimni qisqartirib beradi va unga yaqin bo‘lgan boshqa sanoq tizimlariga oson o‘tkaziladi. Ikkilik tizimda ishlaydigan kompyuterlar uchun u juda qulaydir, chunki u ikkilik tizimning har uchta raqamlarini bitta oktal raqam bilan ifodalaydi. Bu jarayonni qisqartirib, ko‘p ma’lumotni tezda o‘qib tushunishga yordam beradi.

---

Misol: Fayl Ruxsatlari (Linux)

Agar siz Linuxda yoki Unix tizimlarida ishlasangiz, fayl ruxsatlarini 8-lik sanoq tizimida belgilaysiz. Har bir raqam o‘quv, yozuv, va ishga tushirish huquqlarini ifodalaydi.

Masalan, 755 raqami:

• 7 (egasi uchun) – O‘qish (4) + Yozish (2) + Ishlatish (1) = 7,
• 5 (guruh uchun) – O‘qish (4) + Ishlatish (1) = 5,
• 5 (boshqalar uchun) – O‘qish (4) + Ishlatish (1) = 5.

Bu degani, egasi to‘liq huquqqa ega, guruh va boshqalar esa faqat o‘qib, ishga tushirishi mumkin.

---

Sakkizlik Sanoq Sistemasida Qo'shish, Ayirish va Ko'paytirish

Qo'shish Amali

Sakkizlik sanoq sistemasida qo'shish oddiy ko'rinishi mumkin, lekin ba'zi qoidalarni bilish kerak. Qo'shish jarayoni quyidagi qoidalarga asoslanadi:

• Qo'shish qoidalari:
  • 0 + 0 = 0
  • 1 + 0 = 1
  • 2 + 3 = 5
  • 4 + 5 = 11 (bu erda 1 ni olib o'tamiz)

Misol 1:

123 + 456 qo'shamiz:

   123
 + 456
 -------
  601   (sakkizlikda 83 + 302 = 385)

Misol 2:

657 + 124 qo'shamiz:

   657
 + 124
 -------
  803   (sakkizlikda 431 + 84 = 515)

Ayirish Amali

Sakkizlik sanoq sistemasida ayirish ham oson. Ayirishda har doim katta raqamdan kichik raqamni ayiramiz.

• Ayirish qoidalari:
  • 0 - 0 = 0
  • 1 - 1 = 0
  • 5 - 2 = 3
  • 3 - 5 = 6 (buning uchun 1 olib o'tishimiz kerak)

Misol 1:

345 - 127 ayiramiz:

   345
 - 127
 -------
   216   (sakkizlikda 229 - 111 = 118)

Misol 2:

512 - 215 ayiramiz:

   512
 - 215
 -------
   275   (sakkizlikda 330 - 153 = 177)

Ko'paytirish Amali

Sakkizlik sanoq sistemasida ko'paytirish ham oson. Agar siz qo'shish va ayirish qoidalarini bilsangiz, ko'paytirishni o'rganish ham qulay.

• Ko'paytirish qoidalari:
  • 0 * 0 = 0
  • 1 * 1 = 1
  • 2 * 3 = 6
  • 4 * 2 = 10 (buning uchun 1 olib o'tishimiz kerak)

Misol 1:

24 * 3 ni ko'paytiramiz:

      24
    x  3
   --------
      72   (sakkizlikda 20 * 3 = 60)

Misol 2:

36 * 2 ni ko'paytiramiz:

      36
    x  2
   --------
      72   (sakkizlikda 30 * 2 = 60)

16-lik Sanoq Sistemi (Hexadecimal)

16-lik Sanoq Sistemi Nima?

16-lik sanoq tizimi (Hexadecimal) 16 ta raqamdan iborat bo‘lgan sanoq tizimi hisoblanadi. 10-lik sanoq tizimidan farqli ravishda bu tizimda qo‘shimcha 6 ta harf ham ishlatiladi: A, B, C, D, E, F. Bular quyidagi qiymatlarni anglatadi:

• A = 10
• B = 11
• C = 12
• D = 13
• E = 14
• F = 15

Shuning uchun, 16-lik sanoq tizimida raqamlar quyidagicha tartiblanadi:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Nega "Hexadecimal"?

Hexadecimal — bu "geksa" (olti) va "desimal" (o‘n) so‘zlaridan kelib chiqqan. Bu degani, tizim 16 ta raqamdan foydalanadi. Kompyuterlar dunyosida bu sanoq tizimi tez-tez ishlatiladi, chunki ikkilik sanoq tizimi (0 va 1) juda uzun bo‘lishi mumkin, lekin 16-lik tizim uni qisqartirishga yordam beradi.

💡

Kompyuterlar 16-lik sanoq tizimini asosiy dasturlash tillarida tez-tez ishlatishadi, ayniqsa xotira adreslarini ko‘rsatishda.

---

Qanday Ishlaydi? (Pozitsiyaviy Qiymatlar)

Hexadecimal sanoq tizimi ham o‘nlik sanoq tizimiga o‘xshab ishlaydi, ya'ni har bir raqamning qiymati uning joylashgan pozitsiyasiga bog‘liq. Faqatgina bu tizimda har bir pozitsiya 16 darajalari bilan ko‘paytiriladi. Masalan, 1A3 raqamining qiymati quyidagicha hisoblanadi:

• 1 * 16² = 1 * 256 = 256
• A * 16¹ = 10 * 16 = 160
• 3 * 16⁰ = 3 * 1 = 3

Demak, 1A3 geksadesimal raqamining o‘nlik qiymati 256 + 160 + 3 = 419.

Hexadecimalning Hayotiy Qulayligi

Kompyuterlar ma'lumotlarni asosan ikkilikda ishlaydi, lekin bu ma'lumotlarni o‘qish uchun biz hexadecimal tizimdan foydalanamiz, chunki u qisqa va aniq.

💡

Rang kodlari ham hexadecimalda ko‘rsatiladi. Masalan, siz bilasizmi, #FF5733 bu yorqin to'q sariq rangni ifodalaydi? Raqamlar sizning kompyuteringizda rasm va ranglar qanday ishlatilishini aniqlaydi!

---

Hexadecimal va Ikkilik Tizim

Hexadecimal sanoq tizimi tez-tez ikkilik (2-lik) sanoq tizimi bilan bog‘liq holda ishlatiladi. Nega? Chunki bitta hexadecimal raqam to‘rtta ikkilik raqamga mos keladi. Misol keltiradigan bo‘lsak:

• 1 geksadesimal = 0001 ikkilik.
• A geksadesimal = 1010 ikkilik.

Misol: Keling, 4B raqamini ikkilik tizimga o‘tkazamiz:

• 4 = 0100,
• B = 1011.

Demak, 4B = 0100 1011 ikkilikda.

Bu usul juda qulay, chunki kompyuterlar ikkilik tizimda ishlaydi, lekin hexadecimal undan ancha qisqa va o‘qilishi osonroq. Masalan, 01101011 11001011 raqamlarining o‘rniga 6BCB deb yozish ancha qulayroq.

---

Hexadecimal va 10-lik Tizimga O‘tish

Endi keling, hexadecimalni o‘nlik tizimga o‘tkazamiz. Masalan, 1C2 hexadecimal raqamining o‘nlik qiymatini hisoblaylik:

• 1 * 16² = 1 * 256 = 256,
• C (ya'ni, 12) * 16¹ = 12 * 16 = 192,
• 2 * 16⁰ = 2 * 1 = 2.

Shunday qilib, 1C2 = 256 + 192 + 2 = 450 o‘nlik tizimda.

💡

IP manzillar va MAC adreslar ham hexadecimalda yoziladi. Ular internetda sizning qurilmangizni identifikatsiyalaydi.

---

Amaliy Misol: Rang Kodlari

Veb-dizaynerlar hexadecimal rang kodlarini yaxshi bilishadi. Masalan, #FFFFFF bu oq rangni, #000000 esa qora rangni ifodalaydi. Bu ranglar har bir komponent uchun ikkita hexadecimal raqam yordamida aniqlanadi:

• #RRGGBB – bu erda har bir komponent (R = Red, G = Green, B = Blue) ikkita hexadecimal raqam bilan ifodalanadi. Masalan, #FF0000 bu sof qizil rangdir (FF = 255 o‘nlikda, 00 = 0).

💡

HTML, CSS va boshqa dasturlash tillarida hexadecimal rang kodlari asosiy element hisoblanadi.

😉

Veb-dizaynerlarning sevimli matematika mashg‘uloti – ranglarni hexadecimalda hisoblash.

---

Hexadecimalni Qayerda Ishlatamiz?

1. Kompyuter Xotirasi: Hexadecimal tizim kompyuterlar va dasturlash tillarida juda keng qo‘llaniladi. Masalan, xotira adreslari, kodlar va buyruqlar ko‘pincha hexadecimalda ifodalanadi.
2. Rang Kodlari: Veb-dizayn va grafik dasturlarida ranglarni belgilash uchun hexadecimal tizim ishlatiladi.
3. Protsessor Arxitekturasi: Kompyuter protsessorlari ham ma'lumotlarni hexadecimalda ifodalaydi va ishlaydi.

💡

Ko‘pgina operatsion tizimlar va dasturlash tillari ichki ma'lumotlarni hexadecimalda boshqaradi.

---

O’n Oltilik Sanoq Sistemasida Qo’shish, Ayirish va Ko’paytirish

---

Qo’shish Amali

O’n oltilik sanoq sistemasida qo’shish jarayoni oson. Qo’shishda raqamlarni bir-biriga qo’shamiz va agar yig’indisi 16 dan oshsa, 1 ni olib o'tamiz.

Qo’shish qoidalari:

• 0 + 0 = 0
• 1 + 0 = 1
• 5 + A = F (5 + 10 = 15)
• 8 + 9 = 11 (bunda 1 olib o'tamiz)

Misol 1:

2F + 1B qo’shamiz:

   2F
 + 1B
 ------
   4A   (2 + 1 = 3, F + B = 15 + 11 = 26, 1 ni olib o'tamiz)

Misol 2:

3A + 4C qo’shamiz:

   3A
 + 4C
 ------
   86   (3 + 4 = 7, A + C = 10 + 12 = 22, 1 ni olib o'tamiz)

---

Ayirish Amali

Ayirish jarayoni qo’shish jarayoniga o'xshaydi, lekin bu erda katta raqamdan kichik raqamni ayiramiz. Agar kichik raqam katta raqamdan katta bo'lsa, biz 1 olib o'tamiz.

Ayirish qoidalari:

• 0 - 0 = 0
• 5 - 3 = 2
• A - 1 = 9
• 6 - 8 = -2 (bu mumkin emas)

Misol 1:

3C - 1A ayiramiz:

   3C
 - 1A
 ------
   22   (3 - 1 = 2, C - A = 12 - 10 = 2)

Misol 2:

4B - 2F ayiramiz:

   4B
 - 2F
 ------
   1C   (4 - 2 = 2, B - F = 11 - 15 = -4, 1 olib o'tamiz)

---

Ko’paytirish Amali

O’n oltilik sanoq sistemasida ko’paytirish jarayoni ham oson. Har bir raqamni o’z joyi bilan ko’paytiramiz.

Ko’paytirish qoidalari:

• 0 * 0 = 0
• 1 * 1 = 1
• 2 * A = 14 (2 * 10 = 20)
• 4 * 5 = 14 (bu erda 4 olib o'tamiz)

Misol 1:

3 * C ni ko’paytiramiz:

    3
  x C
  ------
   24   (3 * 12 = 36)

Misol 2:

2 * B ni ko’paytiramiz:

    2
  x B
  ------
   16   (2 * 11 = 22)